PENDULE
DE SCHULER ET SYSTEMES DE NAVIGATION TERRESTRES
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Rubrique introduite en mars 2012 II SCHULER ET LA NAVIGATION INERTIELLE |
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Cette
page vient combler un vide ( qui m’a été fort justement reproché ) dans les
rudiments de connaissance des centrales inertielles et de leurs applications à
la navigation. Notamment de ne pas avoir mentionné le rôle de la "période
de Schuler" incontournable pour un spécialiste de centrales de
navigation terretres.
La
raison: je me suis surtout intéressé à la mécanique spatiale et donc à la
navigation inertielle dans l’espace et le cosmos, où ce qui compte ce sont des
références absolues avec des centrales stabilisées 3 axes inertiels.
J’avais
un peu oublié l’utilisation de la navigation inertielle au voisinage de la
Terre, naturellement très importante pour les aéronefs les sous marins ….qui eux utilisent des
références liées à la Terre, bien évidemment.
Avant
de commencer, pour les non initiés il est conseillé de voir | Centrale inertielle |
Accéléromètre
| Gyromètre |
I SCHULER & SON PENDULE?
Le
docteur Maximilien Schuler est un physicien allemand qui, dans les années 20, s’est
intéressé à la mise au point du gyrocompas en navigation maritime et notamment
la minimisation des erreurs causées en mer par le roulis des bateaux. Ce
faisant, la recherche et la réalisation mécanique de l’insensibilité au roulis,
a fait apparaître une période d’oscillations libres du système de 84.4 mn environ,
qui a été appelée depuis période de Schuler.
Dans ce qui
suit, comme il est question de période associée à une oscillation harmonique,
nous rappelons brièvement qu'une variable X
qui oscille avec une période T et une pulsation w vérifie une équation du type :
Typiquement 2 systèmes s'imposent : le
ressort et le pendule simple intimement liés.
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On dira
souvent que -- w²X est "la force de
rappel élastique", s'opposant à la croissance de X.
1 - Période de Schuler
Anticipons
sur la suite pour dire que T = 84.4 mn est la période d’oscillation d’un
pendule théorique, bien sûr irréalisable, avec un « fil » de
masse nulle, de longueur L égale au rayon terrestre R = 6378 km environ,
oscillant dans le champ de gravitation ou de pesanteur régnant au niveau du
sol, soit d’accélération g.
appelée PERIODE DE SCHULER
2 - Quelques exemples "saugrenus" où cette période apparaît?
a)
Calcul de la pesanteur à l'intérieur de la Terre:
Calcul classique de classe
préparatoire, je renvoie le lecteur intéressé sur ce même site à la bonne rubrique .On
y trouvera que la loi de variation de g est linéaire du centre au bord avec une
valeur nulle au centre. La formule est présentée dans le croquis ci-dessous
b)
Le
puits sans fond traversant la Terre :
Imaginons
en oubliant la réalité de l’expérience, un puits tubulaire, rectiligne, sans
frottement, traversant la Terre entre 2 points aux antipodes l'un de l'autre,
et lâchons une masse sans vitesse en l’un des points A par exemple et regardons
ce qui peut se passer!! C’est une chute libre, mais dans un champ de
pesanteur variable, comme indiqué par la relation du dessin.
La
loi de variation y est attractive vers le centre et linéaire en fonction de la
distance au centre r. L'oscillateur est parfait et ne nécessite pas de petits
déplacements.
La loi
fondamentale de la mécanique donne en projection sur l’axe X
Le lecteur trouvera sans problème un mouvement sinusoïdal de
période égale à celle de Schuler,
pour l’aller retour Aà B à
A
Etonnant !!!
c)
Le puits transversal :
Expérience analogue, tout aussi imaginaire, avec un puits
tubulaire parfait, sans frottement, ne passant pas par le centre. On pose X= HM
.
La force de rappel sur l'axe du puits est f = F cosa = -Mgrcosa/R = - Mg X/R linéaire en X et donnant donc un mouvement harmonique
parfait ( sans aucune approximation, ce qui est rare )
Le lecteur établira exactement la
même équation du mouvement en projection sur l'axe X , à partir de loi fondamentale. La conclusion est la même: le
mouvement d'une masse M dans ce tube idéal est périodique sinusoïdal de période
égale à celle de Schuler.
d)
A
la surface de la Terre :
En extrapolant nos 2 études simples
et en passant à la limite à la surface de la terre, on arrive aussi à retrouver
cette période de Schuler, pour un mouvement dans un tube parfaitement
horizontal au ras du sol, et là l'expérience est un peu plus réaliste, sauf que
la lenteur de l'oscillation sera rapidement victime des frottements aussi
petits soient-ils. Je laisse le soin au lecteur de faire le petit calcul.
e)
Avec
un satellite gravitant au ras du sol
Il suffit de connaître la période
orbitale pour une trajectoire circulaire de rayon R égal au rayon terrestre,
pour conclure :
e) Pour faire le lien avec la
navigation et la conservation de la verticale, on peut interpréter le pendule de Schuler, mathématiquement
parlant, en supposant qu'il ( le pendule ) est fixé au centre de la terre,
que le fil a une longueur égale au rayon terrestre et qu'il se meut à une
vitesse V constamment horizontale et égale à la vitesse orbitale au ras du sol,
sous l'effet de 2 actions
-
Une
jouant le rôle de la pesanteur c'est la force centrifuge
-
L'autre
étant la tension du fil représentée par la pesanteur Mg
Ce faisant le pendule de Schuler est
toujours strictement vertical et constitue un horizon artificiel parfait.
II SCHULER ET LA NAVIGATION INERTIELLE TERRESTRE
1 - Historique :
Les
allemands, avec notamment les travaux de Schuler et de son cousin Hermann
Anschütz-Kaempfe, ont exploité les résultats
pour le guidage inertiel des V2. Plus tard c’est l’aéronautique et
l’astronautique qui, à partir des années 60, mettrons au point nombre de
systèmes inertiels de navigation.
Les
systèmes qui font apparaître cette "période de Schuler"
dans un mode vibratoire particulier sont dits « schularisés ». C’est
le cas de nombres de dispositifs inertiels de navigation terrestre. On parle
aussi de centrale de Schuler.
Profitons
en pour revenir sur la notion de système inertiel.
2 - Question posée par Einstein : Voir le cours dédié
Imaginons un véhicule totalement coupé du
monde extérieur en ce qui concerne :
Les
télécommunications
Les émissions
d’onde de toute sorte ( électromagnétiques, acoustique etc....)
Donc ne pouvant rien émettre ni rien
recevoir. Mais:
Autonome en
énergie
Pouvant emporter
tout type de connaissances ( disques, livres, CDROM,.mémoire informatique,..)
Pouvant utiliser
tous moyens de calculs imaginables
Disposant de
moyens expérimentaux de tout type, mais autonomes.
QUE
PEUT-ON CONNAÎTRE DU MOUVEMENT CE VEHICULE ?
Précisons
pour répondre par anticipation à cette question, que la FORCE SPECIFIQUE est en un point de l’espace, est
la différence entre l’accélération absolue et celle du champ de gravitation
régnant en ce point de l’espace. Par exemple, dans le vide un corps tombant en
chute libre est soumis à une force spécifique nulle. C’est une surprise de
constater que dans le vide, isolé de tout, on ne peut pas mesurer le champ de
gravitation par des moyens autonomes.
En
d’autres termes, pour l’aéronautique par exemple, la force spécifique
sur un avion est l’accélération crée par les forces autres que la gravitation (
aérodynamique et motorisation )
En astronautique,
pour un lanceur en phase propulsée hors atmosphère, c’est l’accélération
générée par les propulseurs. Dans le vide, sans poussée cette force spécifique
est nulle.
REPONSE :
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« PRINCIPE DE RELATIVITE DE GALILEE-EINSTEIN » Il est possible de mesurer à bord du véhicule deux
vecteurs :
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3 - Comment exploiter la force
spécifique ?
Sans
entrer dans les détails, par ailleurs largement abordés dans ce site, nous dirons que la méthode
repose sur :
1 - La mesure de la force spécifique, c’est une
accélération, donc par un ou plusieurs accéléromètres
2 - L’intégration mathématique de cette
accélération, ce qui nécessite :
a - Un calculateur embarqué travaillant en temps réel.
b -
Une détermination et mémorisation, en début de processus, des conditions
initiales ( Vitesse et position initiales )
à phase appelée initialisation du navigateur
c -
Un traitement des erreurs et la mise en œuvre de recalages périodiques.
L’ensemble s’appelle un NAVIGATEUR INERTIEL. Pour les lecteurs avertis, il s’agit des centrales inertielles.
4 - Exemple très simple
Imaginons
un véhicule limité à un déplacement le long de l’équateur, au ras du sol et souhaitant
connaître en continu sa vitesse V, sa position X, en toute discrétion, sans
émettre quoi que ce soit simplement en
utilisant une source d’énergie embarquée et les ressources combinées de
l’intelligence et de la physique.
En
admettant qu’à l’instant du calcul, l’accéléromètre est parfaitement
horizontal, il mesure donc suivant son axe sensible ( perpendiculaire à la
gravitation locale ) la force spécifique soit g = F/M son accélération absolue.
Imaginons
qu’il en soit toujours ainsi, alors la chaîne des calculs est très simple :
Où est le problème ?
Il repose
sur la contrainte stricte de maintenir constamment l’axe de l’accéléromètre, exactement
horizontal, alors que le véhicule se déplace le long de l’équateur terrestre.
Ce
faisant dès que l’horizontalité n’est plus satisfaite, l’accéléromètre qui
mesure, rappelons le, la force spécifique, voit donc apparaître la gravitation par sa composante sur l’axe de
mesure. Ce qui fausse l’accélération et par la même la navigation.
5 - Le bouclage de Schuler
Notre
accéléromètre est monté sur une PLATEFORME INERTIELLE suspendue autour d'un axe
de direction fixe, pour notre exemple simple, parallèle à l'axe des pôles
La plateforme comporte:
-
Un accéléromètre uni
axe fournissant la force spécifique sur l'axe de mesure, soit l'accélération g si la plateforme est horizontale ou g - g sina si la plateforme est inclinée de l'angle a.
-
Un gyroscope mémorisant
la verticale locale.
-
Une initialisation en
vitesse et position
-
Un calculateur en temps
réel, intégrant la force spécifique pour donner vitesse et position en
utilisant l'initialisation.
Bien évidemment la navigation n'est correcte
que si la plateforme est toujours strictement horizontale, d'où
l'asservissement ou bouclage suivant.
Le moyen : Durant le mouvement, le calculateur fournit
en continu la vitesse V du véhicule. Lors du déplacement horizontal, la
plateforme asservie à la verticale gyroscope, n'est plus horizontale et a
tourné d'un angle a , il faut donc imposer à la plateforme
une vitesse de rotation w = da/dt, pour
conserver l'horizontalité. Cet asservissement est réalisé par un moteur couple
s'exerçant sur l'axe de suspension de la plateforme. Cette boucle de
rétroaction s'appelle boucle de Schuler
Ainsi, en mode libre après
dépointage, l'accéléromètre ne détecte que, qu'il interprète comme un mouvement
:
L'asservissement en bouclage de Schuler
impose
Finalement l'angle de dépointage a vérifie, en éliminant V
C'est précisément une oscillation harmonique
à la période de Schuler, déjà citée plus haut
Conclusions : En fait la plateforme et le gyroscope de verticale
sont mutuellement asservis l'un à l'autre, avec le bouclage de Schuler pour
manœuvrer la plateforme et un moteur d'alignement du gyroscope gardant l'axe
gyro normal à l'axe de mesure plateforme, pour suivre la verticale. Le gyro
apporte dans cette affaire son inertie et la stabilité de la verticale.
C'est donc le calculateur qui maintient le
système inertiel horizontal grâce au calcul de la vitesse, l'accéléromètre
étant le révélateur du dépointage.
6 - Centrale de
navigation terrestre :
Bien évidemment un navigateur terrestre
nécessite une plateforme permettant une orientation dans le plan horizontal sur
2 axes, donc avec un minimum de 2
accéléromètres etc…
Le lecteur pourra se documenter plus
précisément sur le contrôle et l'architecture théorique d'une centrale : allez
voir Avionique
première de Guy Mercier
GUIZIOU Robert , Mars 2012